Claim OwnershipEinführung in die Stochastik für Studierende des gymnasialen Lehramts Mathematik, SS2014, Vorlesung
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Seit fast 10 Jahren ist die Leitidee „Daten und Zufall" verbindlicher Inhalt des Mathematikunterrichts für alle Bundesländer. In Baden-Württemberg hält die Stochastik seit letztem Jahr als Pflicht-Bestandteil in das Zentralabitur Einzug. Die Vorlesung „Einführung in die Stochastik für Studierende des Lehramts" trägt dieser wachsenden Bedeutung der Stochastik für die Schule Rechnung. Sie wendet sich an Studierende des Lehramts Mathematik, die die grundlegenden Begriffe, Denkweisen, Methoden und Verfahren der Stochastik - über die verständliche Motivation hinaus, im Hinblick auf das Staatsexamen Kenntnisse nachweisen zu müssen - verstehen und verinnerlichen wollen.
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Vorlesung - Lektion 26: - Definition (Gammaverteilung) - Satz (Momente der Gammaverteilung) - Satz (Additionsgesetz für die Gammaverteilung) - Bemerkung (Beta-Funktion) - Folgerung (Additionsgesetz für die Exponentialverteilung) - Definition (Chi-Quadrat-Verteilung) - Folgerung (Erwartungswert und Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung) - Satz (Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung) - Satz (Allgemeine Darstellungsformel für Erwartungswerte) - Beispiel - Definition (Erwartungswertvektor, Kovarianzmatrix) - Bemerkung (Erwartungswert einer zufälligen Matrix) - Rechenregeln (Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix unter affinen Transformationen) - Satz (Eine Kovarianzmatrix ist positiv-semidefinit) - Beispiel (Multinomialverteilung) - Satz (Transformationssatz für Dichten) - Beispiel (Erzeugung normalverteilter Pseudozufallszahlen) - Beispiel (Affine Abbildung) - Satz (Affine Transformation der Standardnormalverteilung) - Definition (Nichtausgeartete k-dimensionale Normalverteilung) - Satz (Existenzsatz) - Folgerung (Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix der multivariaten Normalverteilung) - Folgerung (Marginalverteilungen) - Satz (Unabhängigkeit und Unkorreliertheit) - Erzeugung der bivariaten Normalverteilung
Vorlesung - Lektion 24: - Wiederholung aus Lektion 23 - Bedeutung der Normalverteilung - Satz (Streng monotone Transformationen) - Beispiel (Lognormalverteilung) - Definition (Lognormalverteilung) - Beispiel (Weibull-Verteilung) - Definition (Weibull-Verteilung) - Beispiel (Weibull-Verteilung als Limesverteilung der Kollisionszeit) - Kenngrößen von Verteilungen - Definition (Erwartungswert) - Satz (Darstellungsformel für stetige Zufallsvariablen) - Satz (Darstellungsformel für den Erwartungswert einer Funktion der stetigen Zufallsvariablen) - Definition (Erwartungswert, Varianz, Momente) - Beispiel (Standardnormalverteilung) - Beispiel (Allgemeine Normalverteilung) - Definition (Quantile, Quantilfunktion)
Vorlesung - Lektion 22: - Der exakte Test von Fisher - Trugschlüsse beim Umgang mit Tests - Allgemeine Modelle - Definition (Sigma-Algebra) - Folgerungen aus der Definition - Beispiele für Sigma-Algebren - Satz (Schnitte von Sigma-Algebren sind Sigma-Algebren) - Satz und Definition (Erzeugte Sigma-Algebra, Erzeugendensystem) - Beispiel (erzeugte Sigma-Algebra) - Folgerung (Arbeitstechniken für Erzeuger) - Definition (Borelsche Sigma-Algebra) - Satz (Erzeuger der Borelmengen) - Satz (Existenz und Eindeutigkeit des Borel-Lebesgue-Maßes) - Definition (Axiomensystem von Kolmogorow, 1933)
Vorlesung - Lektion 21: - Wiederholung aus Lektion 20 - Konsistenz des einseitigen Binomialtests - Beispiel (Planung des Stichprobenumfangs) - Beispiel (Zweiseitiger Binomialtest) - Der p-Wert - Zusammenhang zwischen Konfidenzbereichen und Tests - Der Chi-Quadrat-Anpassungstest - Definition (Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung) - Beispiel (Vererbung, Mendelsche Gesetze) - Durchführung des Chi-Quadrat-Tests als Monte-Carlo Test
Vorlesung - Lektion 20: - Induktive Statistik: Statistische Tests - Beispiel (Die >tea tasting lady<) - Grundbegriffe (Hypothese und Alternative) - Definition (Nichtrandomisierter Test) - Definition (Prüfgröße, kritischer Wert) - Beispiel (Tea tasting lady) - Definition (Fehler erster und zweiter Art) - Definition (Gütefunktion eines Tests) - Definition (Test zum Niveau alpha) - Beispiel (Einseitiger Binomialtest) - Definition (Randomisierter Test) - Beispiel (Allgemeiner einseitiger Binomialtest) - Definition (Gütefunktion eines randomisierten Tests) - Beispiel (Gütefunktion einseitiger Binomialtests) - Definition (asymptotisches Niveau, Konsistenz) - Beispiel (Einseitiger Binomialtest)
Vorlesung - Lektion 25: - Wiederholung aus Lektion 24 - Beispiel (Cauchy-Verteilung) - Definition (Symmetrische Verteilung) - Satz (Erwartungswert gleich Median bei symmetrischen Verteilungen) - Definition (Quantiltransformation) - Beispiel (Exponentialverteilung) - Satz (Quantiltransformation) - Satz (Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation) - Mehrdimensionale stetige Verteilungen - Satz (Eindeutigkeitssatz) - Folgerungen - Definition (Stetiger Zufallsvektor) - Beispiel (Produkt-Ansatz) - Beispiel (Standard-Normalverteilung) - Satz (Gewinnung der marginalen Dichten) - Beispiel - Satz (Unabhängigkeit und Dichten) - Satz (Faltungsformel für stetige Zufallsvariablen) - Satz (Additionsgesetz für die Normalverteilung) - Beispiel (Faltung von Gleichverteilungen)
Vorlesung - Lektion 23: - Wiederholung aus Lektion 22 - Messbarkeit (Motivation) - Definition (Zufallsvektor, Messbarkeit, Verteilung) - Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen über Dichten - Definition (Gleichverteilung auf eine Menge im R hoch k) - Definition und Satz (Verteilungsfunktion) - Satz (Weitere Eigenschaften von Verteilungsfunktionen) - Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz) - Folgerung - Definition (Diskrete Zufallvariable/Verteilungsfunktion) - Definition (Stetige Zufallsvariable, Dichte) - Cantorsche Verteilungsfunktion - Grundlegende stetige Verteilungen - Definition (Gleichverteilung auf einem Intervall) - Zusammenhang zwischen U(0,1) und U(a,b) - Definition (Exponentialverteilung) - Definition (Normalverteilung) - Zusammenhang zwischen der allgemeinen und der Standardnormalverteilung
Vorlesung - Lektion 19: - Wiederholung aus Lektion 18 - Konfidenzbereiche (allgemeines Konstruktionsprinzip) - Beispiel (Binomialverteilung) - Beispiel (Binomialverteilung, einseitige Konfidenzbereiche) - Beispiel (Poisson-Verteilung) - Definition (Asymptotischer Konfidenzbereich) - Asymptotische Konfidenzintervalle für p bei Bin(n,p) - Beispiel (>ZDF-Politbarometer<) - Beispiel (Die Randomized-Response-Technik)
Vorlesung - Lektion 18: - Wiederholung aus Lektion 17 - Definition ((Punkt-)Schätzer) - Beispiel (Binomialfall)) - Bemerkungen - Definition (Mittlere quadratische Abweichung, Verzerrung) - Beispiel (Binomialfall) - Definition (Maximum-Likelihood-Schätzung) - Beispiel (Fortsetzung von Beispiel 21.4) - Bemerkung (Likelihood-Funktion) - Beispiel (ML-Schätzung bei geometrischer Verteilung) - Definition (Schätzfolge, asymptotische E-Treue, Konsistenz) - Beispiel (Fortsetzung von Beispiel 21.13) - Induktive Statistik: Konfidenzbereiche - Beispiel (Binomialverteilung) Definition (Konfidenzbereich) - Allgemeines Konstruktionsprinzip
Vorlesung - Lektion 17:- Wiederholung aus Lektion 16 - Streuungsmaße - Der Variationskoeffizient - Der Box-Plot - Streudiagramm, empirische Regressionsgerade - Definition (geometrisches Mittel) - Beispiel (Kapitalverzinsung) - Definition (harmonisches Mittel) - Beispiel (Durchschnittsgeschwindigkeit) - Induktive Statistik: Punktschätzung - Beispiel (Schätzung einer Wahrscheinlichkeit, I) - Allgemeiner Modellrahmen - Beispiel (Bernoulli-Schema) - Beispiel (Qualitätskontrolle)
Vorlesung - Lektion 16:- Pseudozufallszahlen und Simulation - Der lineare Kongruengenerator - Simulation von Zufallsexperimenten - Beispiel (Würfeln mit MAPLE) - Deskriptive Statistik - Untersuchungseinheiten und Merkmale - Grundgesamtheit und Stichprobe - Empirische Häufigkeitsverteilung, Stab- und Kreisdiagramm - Histogramme - Stamm- und Blatt-Darstellung - Lagemaße - arithmetisches Mittel - geordnete Stichprobe - empirischer Median - empirisches p-Quantil - getrimmtes Mittel
Vorlesung - Lektion 15:- Wiederholung aus Lektion 14 - Folgerung (Schwaches Gesetz großer Zahlen von Jakob Bernoulli) - Definition (stochastische Konvergenz) - Satz (Rechenregel für stochastische Konvergenz) - Bemerkungen (Stochastische Konvergenz und Erwartungswerte) - Satz ((Stochastische Konvergenz und stetige Abbildungen) - Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung (Histogramme) - Definition (Dichte der Standard-Normalverteilung) - Zentraler Grenzwertsatz (Überlagerung von "Dachfunktionen") - ...
Vorlesung - Lektion 14:- Wiederholung aus Lektion 13 - Beispiel (Augensummenverteilung beim mehrfachen Würfelwurf) - Satz (Augensummenverteilung beim n-fachen Würfelwurf) - Satz (Erzeugende Funktionen und Momente) - Poisson-Verteilung) - Beispiel (Ein Ding der Unmöglichkeit) - Bemerkung (Unendlich viele unabhängige Zufallsvariablen) - Randomisierte Summen - Satz (Erzeugende Funktion der randomisierten Summe) - Beispiel (Radioaktives Präparat) - Beispiel (Der Galton-Watson-Verzweigungsprozess) ...
Vorlesung - Lektion 13:- Wiederholung aus Lektion 12 - Beispiel (Zwischen Angst und Gier: Die Sechs verliert) - Satz (Die Substitutionsregel) - Beispiel (Augensumme bei zufälliger Wurfanzahl) - Definition (bedinge Verteilung) - Beispiel (Hypergeometrische Verteilung als unbedingte Verteilung) - Beispiel (Multinomialverteilung bei gegebener Anzahl von Treffern) - Beispiel (Gleichverteilung und geometrische Verteilung) - Exkurs: Das Briefumschlag-Paradoxon - Definition (Erzeugende Funktion einer Zahlenfolge)
Vorlesung - Lektion 11: - Beispiel (Das Rutherford-Geiger-Experiment) - Bedingte Erwartungswerte und bedingte Verteilungen - Definition (bedingter Erwartungswert) - Beispiel - Satz (Eigenschaften des bedingten Erwartungswertes) - Beste Prognose im Sinne der mittleren quadratischen Abweichung - Satz (bedingter Erwartungswert als beste Vorhersage) - Definition (bedingte Erwartung) - Beispiel (zweifacher Würfelwurf) - Satz (Formel vom totalen Erwartungswert) - Folgerung (Iterierte Erwartungswertbildung) - B...
Vorlesung - Lektion 11: - Negative Binomialverteilung (Nachweis der Normierungseigenschaft) - Negative Binomialverteilung (Struktur- und Additionsgesetz) - Negatvie Binomialverteilung (Erwartungswert und Varianz) Vorlesung - Lektion 11: - Negative Binomialverteilung (Selbsttest) - Sammelbilder-Probleme - Satz (Verteilung der Anzahl der Besetzungsvorgänge) - Satz (Grenzverteilung für die Zahl der Besetzungsvorgänge) - Verständnisfragen (Wie viele Dreien vor der ersten Sechs?) - Die Poisson-Verteilung - Satz (Gesetz seltener Ere...
Vorlesung - Lektion 10:- Die Multinomialverteilung (begriffliche Herleitung) - Definition (Multinomialverteilung) - Beispiel zur Multinomialverteilung - Multinomialverteilung und Vergröberung - Multinomialverteilung (Kovarianz und Korrelation) - Mehrdimensionale hypergeometrische Verteilung - Bingo (Auswertung der Schätzungen der Studierenden) - Geometrische Verteilung (begriffliche Herleitung) - Definition und Satz (geometrische Verteilung) - Beispiel zur geometrischen Verteilung
Vorlesung - Lektion 09: - Satz (Varianz einer Indikatorsumme) - Beispiel (Pólya-Verteilung, Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung) - Beispiel (Anzahl der Rekorde in zufälliger Permutation) - Satz und Definition (Standardisierung) - Satz (Tschebyschow-Ungleichung) - Kovarianz (Motivation) - Definition (Kovarianz, Unkorreliertheit) - Satz (Eigenschaften der Kovarianzbildung) - Beispiel (Unkorrelierte, nicht unabhängige Zufallsvariablen) - Satz (Darstellungsformel für die Kovarianz) - Beispiel
Vorlesung - Lektion 08: - Definition (Unabhängigkeit von Zufallsvariablen - Satz (Kriterien für Unabhängigkeit) - Satz (Blockungslemma für Zufallsvariablen) - Satz (Die allgemeine Transformationsformel) - Satz (Multiplikationsformel für Erwartungswerte) - Satz (diskrete Faltungsformel) - Beispiel (Faltung von Gleichverteilungen) - Satz (Additionsgesetz für die Binomialverteilung) - Varianz, Kovarianz, Korrelation - Definition (Varianz und Standardabweichung) - Satz (Darstellungsformeln für die Varianz)
Vorlesung - Lektion 07: Beispiel (Unabhängigkeit und Produktexperimente) - Satz (Blockungslemma) - Satz (Erzeugungsweise der Binomialverteilung) - Definition (Bernoulli-Kette) - Beispiel (Gruppenscreening) - Beispiel (Das Zwei-Finger-Morra) - Beispiel (Unabhängigkeit und Gerichts-(Fehl)-Urteile) - Zufallsvektoren, gemeinsame Verteilung (Beispiel Zweifacher Würfelwurf) - Definition (Zufallsvektor, gemeinsame Verteilung)
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