Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds

Frédéric Faure

Université Grenoble Alpes

Résumé

La correspondance semi-classique habituelle (appelée quantique-classique) montre que l'évolution à temps fixé de paquets d'ondes par une équation des ondes fait apparaitre le flot géodésique dans la limite des petites longueur d'onde λ → 0. Ce flot géodésique est déterminé par le symbole principal de l'opérateur d'onde. Ainsi des opérateurs différents de spectres différents peuvent avoir la même limite classique. La formule des traces de Duistermaat-Guillemin montre que le spectre de l'opérateur détermine l'ensemble des longueurs des géodésiques périodiques mais pas l'inverse.

Nous souhaitons montrer le sens inverse : le flot géodésique lorsqu'il est Anosov, détermine une unique équation des ondes générée par un opérateur équivalent à √∆ à l'ordre principal et dont le spectre est caractérisé par les géodésiques périodiques, via une fonction zéta.

Cette équation des ondes apparait dynamiquement de la façon suivante. Dans le cas simple d'une surface hyperbolique N (i.e. lisse, compacte de courbure −1), la moyenne sphérique au temps t ∈ R d'une fonction u0 : N → C est la fonction ut où en chaque point x ∈ N , la valeur ut (x) est la moyenne de u0 sur le cercle géodésique de centre x et de rayon |t|. Pour t → ∞, chaque cercle devient dense et ut converge exponentiellement vite vers la moyenne spatiale ⟨u0⟩ de u0. On s'intéresse aux fluctuations autour de cette moyenne en posant vt = e|t|/2 (ut − ⟨u0⟩). La surprise est que ces fluctuations sont solution de l'équation des ondes sur N. On montrera qu'un tel phénomène est plus général à toute variété Riemannienne Anosov donnant une équation des ondes émergente, générée par un opérateur qui est une sorte de "quantification dynamique" du flot classique.

On présentera les idées et ingrédients qui permettent d'obtenir ces résultats et qui sont de l'analyse microlocale, des espaces de Sobolev anisotropes, des spectres de Ruelle et des spineurs symplectiques.

Travail en collaboration avec Masato Tsujii, arxiv 2102.11196.