Claim OwnershipNumerische Mathematik für die Fachrichtungen Informatik und Ingenieurwesen, Vorlesung, SS2019
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Description
In der Numerischen Mathematik werden Algorithmen für Probleme der kontinuierlichen Mathematik konstruiert und untersucht. Sie ist somit wesentliche Grundlage der numerischen Simulation. Diese Vorlesung gibt einen Ein- und Überblick:
– Arithmetische Grundlagen
– Lineare Gleichungssysteme: Direkte und indirekte Löser
– Lineare Ausgleichsprobleme
– Eigenwertberechnung
– Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme
– Interpolation und Approximation
– Numerische Quadratur
– Numerische Integration von Differentialgleichungen
– Arithmetische Grundlagen
– Lineare Gleichungssysteme: Direkte und indirekte Löser
– Lineare Ausgleichsprobleme
– Eigenwertberechnung
– Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme
– Interpolation und Approximation
– Numerische Quadratur
– Numerische Integration von Differentialgleichungen
14 Episodes
Reverse
14 |
0:00:00 Start
0:00:08 Iterative Verfahren für LGS
0:00:33 1.Problem
0:05:41 2.Allgmeine lineare Iterationen
0:08:44 Fixpunktiteration
0:10:46 Satz: Konvergenz allgemeiner linearer Iterationen
0:12:00 Beweis
0:18:45 Beispiele
0:18:48 Jacobi-Verfahren
0:23:17 Gauß-Seidel-Verfahren
0:25:35 Unvollständige LR-Zerlegung
0:35:05 Satz: Konvergenz bei strikt diagonaldominaten Matrizen
0:37:36 3.Das cg-Verfahren
0:39:04 Satz: Äquivalenz zu Minimierungsproblem
0:40:13 Beweis
0:52:27 4.Hauptidee
1:11:46 Zusammenfassung
1:12:53 Satz: Theoretische Konvergenz des cg-Verfahrens
13 |
0:00:00 Start
0:02:37 QR-Algorithmus zur Eigenwertberechnung
0:12:56 Bemerkung: Verbesserung des Algorithmus
0:21:28 Satz: Transformation auf Hessenbergform
0:23:38 Beweis
0:36:37 Bemerkung: Aufwand der Transformation
0:38:14 Satz: Hessenbergform als Invariante
0:42:21 Beweis
0:55:07 Bemerkung: Aufwand des Algorithmus
1:13:06 Konvergenzgeschwindigkeit
12 |
0:00:00 Start
0:00:17 Kapitel 6: Eigenwertprobleme
0:00:38 1. Problem
0:11:24 2. Kondition des Problems
0:23:17 Bemerkungen
0:34:57 3. Vektoriteration
0:56:40 Beispiel
0:58:44 4. Inverse Vektoriteration
1:11:57 5. Spektrale Bisektion
11 |
0:00:00 Start
0:00:13 Wiederholung
0:03:25 QT mit erhöhter Ordung
0:19:27 Satz
0:28:50 Gauß-QF
0:38:08 Beispiele
0:43:36 Quadraturfehler
1:11:21 Beispiele
1:21:41 Fehler auf Gesamtintervall
10 |
0:00:00 Start
0:00:05 Numerische Integration
0:00:37 Problemstellung
0:04:25 Kondition des Problems
0:13:07 Quadraturformeln
0:18:27 Beispiele
0:36:06 Ordnung einer Quadraturformel (QF)
0:57:43 Beispiele
1:10:09 Symmetrische Quadraturformel (QF)
1:14:47 Beispiele
09 |
0:00:00 Start
0:00:20 Spline-Interpoation
0:04:30 1. Motivation
0:33:14 2. Konstruktion
0:57:46 3. Kondition der Spline-Interpolation (eingespannt)
08 |
0:00:00 Start
0:00:07 heutiges Thema: Polynominterpolation
0:10:55 Restglied der Polynominterpolation
0:28:57 Tschebyscheff-Interpolation
0:33:45 Definiton der Tschebyscheff-Polynome
0:39:26 Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome
0:46:10 »Min-Max-Eigenschaft« der Tschebyscheff-Polynome
1:05:33 Alternative zur Newton-Darstellung
07 |
0:00:00 Start
0:00:10 Polynominterpolation
0:00:53 1. Problem
0:25:16 2. Kondition des Problems
0:37:06 Beispiel
0:44:53 3. Newtondarstellung und dividierte Differenzen
1:05:20 Lemma von Aitken
06 |
0:00:00 Start
0:00:10 Iterative Verfahren für nichtlineare Gleichnungssysteme
0:02:02 Beispiel
0:18:53 Beobachtungen
0:23:43 Motivation: Newton-Verfahren
0:30:24 Praktische Umsetzung
0:44:24 Das Newton-Verfahren für N=1
0:54:25 Konvergenz des Newton-Verfahrens
1:01:47 Vereinfachtes Newton-Verfahren
05 |
0:00:00 Start
0:00:20 Heutiges Thema: Lineare Ausgleichsrechnung
0:09:45 Satz: Zusammenhang zur Normalengleichung
0:16:26 Beweis
0:32:08 Bemerkungen
0:37:57 Das Lösen der Normalengleichung
0:45:02 QR-Zerlegung und lineare Ausgleichsprobleme
0:58:08 Beispiel
1:11:17 Singulärwertzerlegung
- - - - - - -
Titel der Serie:
Numerische Mathematik für die Fachrichtungen Informatik und Ingenieurwesen, Vorlesung, SS 2019
Beschreibung der Serie:
In der Numerischen Mathematik werden Algorithmen für Probleme der kontinuierlichen Mathematik konstruiert und untersucht. Sie ist somit wesentliche Grundlage der numerischen Simulation. Diese Vorlesung gibt einen Ein- und Überblick:
Arithmetische Grundlagen
– Lineare Gleichungssysteme: Direkte und indirekte Löser
– Lineare Ausgleichsprobleme
– Eigenwertberechnung
– Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme
– Interpolation und Approximation
– Numerische Quadratur
– Numerische Integration von Differentialgleichungen
04 |
0:00:00 Start
0:01:45 Kondition linearer Gleichungssysteme
0:08:23 Bemerkungen
0:14:52 Beispiele
0:26:52 Störungen der rechten Seite
0:45:11 Eigenschaften der Konditionszahl
1:01:34 Störungen von a und b
1:13:49 Bemerkung
1:20:39 Beispiele
03 |
0:00:00 Start
0:00:43 Cholesky-Zerlegung
0:03:31 Idee der Cholesky-Zerlegung
0:06:55 Berechnung der Cholesky-Zerlegung
0:25:45 Algorithmus
0:32:01 Bemerkung
0:36:38 QR-Zerlegung
0:42:20 Idee der QR-Zerlegung
0:46:36 Householder-Transformation
0:51:26 Beobachtungen
1:08:56 Berechnung der QR-Zerlegung
02 |
0:00:00 Start
0:00:14 LR-Zerlegung für LGS
0:04:12 Idee LR-Zerlegung
0:14:58 Bemerkungen zur Vorwärts- und Rückwärtssubstitution
0:21:04 Existenz einer LR-Zerlegung
0:49:09 Aufwand
0:55:42 Korollar
0:59:04 Beispiel
1:04:38 Existenz der LR-Zerlegung mit Zeilenpermutation
1:14:52 Beispiel mit Spaltenpivotwahl
01 |
0:00:00 Start
0:00:05 Motivierendes Beispiel
0:14:13 Gleitpunktrechnung
0:18:24 Mantisse
0:22:50 Endliche Menge der Gleitpunktzahlen
0:45:39 Anschauliche Deutung der eps
0:51:06 Beispiel (double Precision)
0:58:54 Fehlerquellen
1:05:27 Kondition des Problems
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