Claim OwnershipAnalisi Matematica 2010-11
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Description
Dispense del corso (e moltissimi esercizi con soluzione) sono disponibili sul sito del corso: http://latemar.science.unitn.it/Analisi. NOTA. LE PRIME DUE LEZIONI SONO SVOLTE ALLA LAVAGNA CHE NON E' LEGGIBILE NEL VIDEO. A partire dalla terza lezione i video sono piu' fruibili.
Il corso ha come scopo principale quello di consolidare conoscenze matematiche di base e di fornire e sviluppare strumenti utili per un approccio scientifico ai problemi e fenomeni che lo studente incontrera' nel proseguimento dei suoi studi.
La parte teorica del corso viene presentata in modo rigoroso ma conciso e accompagnata da una parallela attivita' di esercitazione volta a favorire la comprensione dei concetti.
Il corso ha come scopo principale quello di consolidare conoscenze matematiche di base e di fornire e sviluppare strumenti utili per un approccio scientifico ai problemi e fenomeni che lo studente incontrera' nel proseguimento dei suoi studi.
La parte teorica del corso viene presentata in modo rigoroso ma conciso e accompagnata da una parallela attivita' di esercitazione volta a favorire la comprensione dei concetti.
33 Episodes
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L’integrale generalizzato della funzione gaussiana e^(-x2) su ]-∞,+∞[ vale π1/2.
Elementi di Calcolo Combinatorio: Permutazioni semplici e con ripetizioni. Disposizioni semplici. Combinazioni semplici. Esercizi.
Funzione integrale. Esercizi. Teorema fondamentale del calcolo integrale (enunciato). Integrale indefinito. Teorema di Torricelli (dim.).
Esercizi con la funzione integrale.
Calcolo dell’area di regioni piane delimitate da grafici di funzioni continue.
Altre primitive ‘quasi’ immediate: ∫ef(x)f’(x)dx= ef(x)+c , ∫f’(x)/f(x)dx=log|f(x)|+c, ∫f’(x) (f(x))ndx= (f(x))(n+1)/(n+1) + c.
Esercizi: calcolo di integrali definiti.
Calcolo dell’area di regioni piane delimitate da grafici di funzioni continue.
Risoluzione di sistemi di equazioni e/o disequazioni (in un'incognita).
Geometria analitica nel piano (ancora un po'): distanza tra due punti. Perimetro di un triangolo.
Equazione generale della circonferenza. Equazione canonica della circonferenza con centro l'origine (o un altro punto del piano cartesiano) e raggio r.
Esercizi vari sull'equazione della circonferenza. Sistemi di disequazioni (in due incognite).
Equazione generale dell'ellisse. Equazione canonica dell'ellisse con centro l'origine (o un altro punto del piano cartesiano). Qualche esercizio.
Punti angolosi (x=0 per f(x)= ⎢x); cuspidi (x=0 per f(x)= radice cubica di ⎢x); punti a tangente verticale (x=0 per f(x)= radice cubica di x).
Se f è derivabile in un punto, allora f è continua in quel punto. Non vale il viceversa (f(x)= ⎢x è continua in x=0, ma non derivabile).
Algebra delle derivate. Esercizi. Derivata della funzione composta. Esempi.
Massimi (minimi) locali (o relativi). Definizione ed esempi. Massimi (minimi) locali: lettura del grafico.
Introduzione alla derivata. Rapporto incrementale, derivata in un punto.
Interpretazione geometrica della derivata. Equazione della retta tangente al grafico di f in (x0,f(x0)) (se f è derivabile in x0). Funzione derivata.
Derivata delle funzioni elementari. Esercizi: eq. retta tangente al grafico di varie funzioni.
Teorema del confronto e teorema dei 2 carabinieri. Limite della funzione composta mediante esercizi (senza enunciato).
Limiti notevoli in 0 per le funzioni [log(1+x)]/x e (ex-1)/x.
Limite della funzione composta. Esercizi.
Asintoti: verticali, orizzontali. Esercizi. Asintoti obliqui. Esercizi.
Forme indeterminate: ∞-∞, 0(∞), ∞/∞ , 0/0. Esempi. Limite del logaritmo e del esponenziale agli estremi del loro dominio.
Confronto di velocità di crescita (log_ax < < x^n < < a^x per x tendente a +∞, con a>1). Esercizi.
Continuità di funzioni definiti a tratti.
La retta reale estesa: R∪{-∞,+∞}. Alcune definizioni rigose di limite destro, limite sinistro.
Limite. Esercizi. Funzioni definite a tratti (continue o con punti di discontinuità). Esercizi.
Unicità del limite. Proprietà algebriche del limite (limite destro, limite sinistro, limite).
Teorema di esistenza degli zeri. Applicazioni. Teorema di Weierstrass. Esempi e applicazioni.
Limiti di funzioni mediante esempio:
a) per descrivere il comportamento agli estremi del dominio di una funzione definita su ]a,b[ (a numero reale oppure -∞; b numero reale oppure +∞): limite destro, limite sinistro;
b) per descrivere il comportamento vicino ad un punto c di una funzione definita su ]a,c[∪]c,b[; limite destro, limite sinistro;
c) per descrivere il comportamento vicino ad un punto c ∈]a,b[ di una funzione definita su ]a,b[, ma discontinua in c; limite destro, limite sinistro
Funzioni continue: funzione continua in x0∈A (con ε e δ), funzione continua in A. Esempi: funzione costante e f(x)=x su R. Esempio di funzione non continua in un punto.
Teorema: se f e g sono funzioni continue in x0∈A, allora anche f+g (f-g), fg, f/g (se g(x0)≠0), ⎢f sono continue in x0 (continuità in A).
Ulteriori esempi di funzioni continue.
Continuità della funzione composta e della funzione inversa.
Funzioni continue: funzioni polinomiali, funzioni razionali fratte (dove non si annulla il denominatore), funzioni radici, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche.
Funzioni continue su [a,b]: Teorema di esistenza degli zeri. Esempi. Metodo di bisezione.
Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
Funzione logaritmo in base a (a>0, a ≠ 1): definizione, proprietà, rappresentazione grafica. Proprietà del logaritmo.
Esercizi: calcolo di logax per diverse basi a e diversi punti x. Determinazione di insiemi di definizione per funzioni con il logaritmo.
Risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche (utilizzando la monotonia e le proprietà algebriche del logaritmo).
Ancora qualche esercizio con il valore assoluto.
Funzioni potenze. Funzione esponenziale in base a (a>0, a ≠ 1): proprietà, rappresentazione grafica. Confronto dei grafici con basi diverse. Il numero di Nepero e.
Rappresentazione grafica di funzioni contenenti la funzione esponenziale.
Determinazione di insiemi di definizione per funzioni contenenti la funzione esponenziale. Risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali.
Ancora esempi di funzioni pari/dispari.
Funzioni monotone (funzioni crescenti, decrescenti, debolmente crescenti, debolmente decrescenti). Esempi: f(x)=x2 è crescente su [0,+∝[; f(x)=2x+1 è crescente su R (dim.).
Intervalli di monotonia. Funzione valore assoluto. Definizione e proprietà fondamentali.
Risoluzione di equazioni e disequazioni con il valore assoluto. Grafici con il valore assoluto.
Ancora sulla composizione di funzioni.
Funzione reale di variabile reale: costruzione di nuove funzioni a partire dalle funzioni elementari mediante:
A) Le operazioni aritmentiche (somma, differenza, prodotto, rapporto di funzioni);
B) la composizione di funzioni;
C) le funzioni inverse;
D) le funzioni definite a tratti. Esempi.
Funzioni limitate (inferiormente limitate, superiormente limitate). Esempi.
Estremi di una funzione: massimo e/o minimo. Punti di massimo e/o di minimo. Esempi.
Le funzioni radici pari e la loro rappresentazione grafica (non confondere la funzione inversa con la funzione reciproca 1/f(x)!!!!).
La funzione f(x)=x (x3, x5, x7 ...- funzioni potenze dispari!!).
La funzione f(x)=1/x (1/x3, 1/x5 ...) e il suo grafico. Le funzioni radici dispari e loro rappresentazione grafica. Grafici di funzioni.
Restrizione. Composizione di funzioni: definizioni ed esempi.
Insiemi di definizione di funzioni composte. Esempi.
Funzione suriettiva. Esempi.
Funzione biiettiva (biunivoca). Esempi. Funzione inversa f-1 (da non confondere con la funzione reciproca 1/f(x)!!!!).
Esempi. Grafico di f-1. Rappresentazione di f-1 per una funzione f reale di variabile reale. Esempi. Funzione inversa di f(x)=x2.
Ancora qualche esercizio sulla funzione inversa (e la sua rappresentazione grafica).
Funzioni elementari: funzione costante, lineare, affine, quadratica.
Rappresentazione grafica della funzione f(x)=x2 (e di f(x)=x4, x6, ... - funzioni di potenze pari!!).
La funzione f(x)=1/x2 (1/x4, 1/x6...) e il suo grafico.
Funzione reale. Funzione reale di variabile reale. Grafico di una funzione reale di variabile reale. Ogni sottoinsieme di RxR è grafico di una funzione?
Varianti di un grafico: dal grafico di f(x) al grafico di f(x)+a, f(x+a), dove a e' un numero reale fissato (con i rispettivi domini).
Dal grafico di f(x) al grafico di f(ax), dove a e' un numero reale fissato positivo (con rispettivo dominio).
Funzione iniettiva. Esempi.
Ancora sul massimo e minimo di una funzione. Esercizi vari.
Insieme simmetrico (rispetto all'origine). Funzioni pari e funzioni dispari. Rappresentazione grafica delle funzioni pari (dispari).
Esempi: tutte le funzioni potenze pari sono funzioni pari, e tutte le funzioni potenze dispari sono funzioni dispari. Esempi.
Massimo e minimo di un insieme numerico. Esempi.
Funzioni generiche: definizione di funzione (dominio, codominio, legge).
Esempi di funzioni e non (graficamente e non). Uguaglianza di due funzioni. Esempi.
Grafico di una funzione. Esempi.
Immagine di un insieme tramite una funzione. Esempi.
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