Claim OwnershipEinführung in die Stochastik, WS15/16, Vorlesung
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Description
Die Videos beziehen sich auf eine 3-stündige Vorlesung mit Übungen und Tutorien für Studierende im zweiten Studienjahr. Der Stoff setzt ein zweisemestriges Mathematikstudium voraus. Das Konzept berücksichtigt, dass die Studierenden parallel eine Vorlesung Analysis 3 hören, in der Grundkenntnisse der Maß- und Integrationstheorie vermittelt werden, die nach ca. zwei Dritteln der Vorlesungszeit bereitgestellt sind. Die Vorlesung beginnt also mit einem 'maßtheoriefreien' Teil. Vorlesungsaufzeichnung: http://webcast.kit.edu
22 Episodes
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22: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 21
0:05:59 Lognormalverteilung
0:11:42 Quantiltransformation (""Inversionsmethode"")
0:14:58 Beispiel (Exponentialverteilung)
0:16:16 Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation
0:21:06 Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix
0:27:23 Positive Definitheit und Semidefinitheit von Kovarianzmatrizen
0:31:41 Beispiel (Multinomialverteilung)
0:34:50 k-dimensionale Standard-Normalverteilung
0:40:19 Affine Transformation der k-dimensionalen Standard-Normalverteilung
0:46:38 Nichtausgeartete k-dimensionale Normalverteilung
0:48:16 Existenzsatz (nichtausgeartete k-dimensionale Normalverteilung)
0:50:28 Diskussion der Dichte
0:52:18 Erwartungsvektor und Kovarianzmatrix (nichtausg. k-dim. Normalverteilung)
0:59:16 Unabhängigkeit und Unkorreliertheit (nichtausg. k-dim. Normalverteilung)
1:03:22 Haupkomponentendarstellung
1:11:38 Der Spezialfall k=2
21: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 20
0:07:00 Verteilung der Summe zweier Zufallsvariablen
0:11:31 Faltungsformel für Dichten
0:13:35 Faltung zweier Gleichverteilungen
0:17:15 Additionsgesetz für die Normalverteilung
0:20:48 Dichte von Differenz, Produkt und Quotient unabhängiger Zufallsvariablen
0:23:52 Erwartungswert einer Funktion eines Zufallsvektors
0:26:43 Momente, Kovarianz, Korrelation
0:31:16 Multiplikationsformel für den Erwartungswert
0:34:53 Momente der Normalverteilung
0:42:02 Gamma-Verteilung
0:45:09 Momente der und Additionsgesetz für die Gamma-Verteilung
0:51:54 Beta-Funktion
0:53:11 Beta-Verteilung
0:55:38 Momente der Beta-Verteilung
0:56:21 Erzeugung der Beta-Verteilung aus der Gamma-Verteilung
0:58:15 Chi-Quadrat-Verteilung
0:59:48 Erwartungswert und Varianz der Chi-Quadrat-Verteliung
1:01:37 Additionsgesetz für die Chi-Quadrat-Verteilung
1:03:49 Dichte der Chi-Qudarat-Verteilung
1:07:51 Quantile, Quantilfunktion
1:13:58 Symmetrische Verteilung
1:15:51 Erwartungswert = Median bei symmetrischen Verteilungen
1:20:34 Cauchy-Verteilung
20: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 19
0:07:04 Veranschaulichung von Verteilungsfunktion und Dichte
0:10:32 Allgemeine Bemerkungen zu Verteilungsfunktionen
0:15:18 Definition einer singulären Verteilungsfunktion
0:17:33 Cantorsche Verteilungsfunktion
0:22:00 Struktur der Menge aller Verteilungsfunktionen
0:28:57 Gleichverteilung auf einem Intervall
0:33:45 Exponentialverteilung
0:40:17 Normalverteilung
0:50:39 Marginalverteilungsbildung bei Dichten
0:57:12 Unabhängigkeit und Dichten
1:02:26 Beispiel (Gleichverteilung auf der Vereinigung zweier Quadrate)
1:05:09 Grundtechniken im Umgang mit Transformationen von Verteilungen
1:07:15 ""Methode Verteilungsfunktion""
1:11:20 Transformationssatz für Lebesgue-Dichten
1:16:08 Box-Muller-Methode
1:23:42 Methode ""Ergänzen, Trafosatz und Marginalverteilungsbildung""
19: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 18
0:07:02 Definition (fast überall, P-fast sicher)
0:09:49 Nullmengenunempfindlichkeit des Integrals
0:10:34 Markov-Ungleichung
0:20:03 Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi)
0:21:50 Integrale über Teilmengen
0:23:05 Maße mit Dichten
0:29:09 Spezialfall 1: absolut stetige Verteilung
0:35:02 Gleichverteilung auf einer beschränkten Menge
0:38:33 Spezialfall 2: diskrete Verteilung
0:43:57 Integration bezüglich eines Maßes mit einer Dichte
0:49:10 Berechnung von Erwartungswerten (absolut stetiger und diskreter Fall)
0:52:36 Produkt-Maße
0:56:13 Satz von Tonelli
0:59:23 Satz von Fubini
1:01:45 Stochastische Unabhängigkeit und Produktmaße
1:06:39 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen
1:13:25 Weitere Eigenschaften einer Verteilungsfunktion
1:15:10 Existenz- und Eindeutigkeitssatz
1:18:38 Diskrete Verteilungsfunktion
1:20:37 Absolut stetige Verteilungsfunktion
18: Vorlesung |
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0:00:10 Maßdefinierende Funktion, Verteilungsfunktion
0:01:12 Maßdefinierende Funktionen erzeugen Maße
0:13:21 Messbarkeit
0:14:37 Bildmaß
0:15:52 Bewegungsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes
0:17:13 Sigma-Algebren und Abbildungen
0:19:46 Numerische Funktionen, Borel-Messbarkeit
0:22:15 Zufallsvariable, Verteilung (allgemeine Definition)
0:25:21 Aufbau des Maß-Integrals I (Elementarfunktionen)
0:30:04 Aufbau des Maß-Integrals II (nichtnegative messbare Funktionen)
0:33:47 Aufbau des Maß-Integrals III (beliebige messbare Funktionen)
0:36:23 Eigenschaften des Integrals
0:38:16 Erwartungswert (allgemeine Defenition)
0:39:27 Eigenschaften der Erwartungswertbildung
0:40:26 Beweisprinzip der algebraischen Induktion
0:42:05 Beispiel (Integral bezüglich eines Dirac-Maßes)
0:46:04 46:04 Beispiel (Integration bezüglich einer Summe von Maßen)
0:50:59 Integration bezüglich eines Bildmaßes
0:54:56 Folgerung (Erwartungswert als Integral bezüglich der Verteilung)
0:58:21 Erwartungswert für diskrete Verteilungen und Verteilungen mit Lebesgue-Dichten
17: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung der letzten Lektion
0:05:21 Planung des Stichprobenumfangs
0:13:45 Zweiseitiger Binomialtest
0:23:05 Allgemeine Modelle, maßtheoretische Grundlagen (Einführung)
0:25:16 Sigma-Algebra
0:27:00 Axiomensystem von Kolmogorov
0:30:37 Erzeugte Sigma-Algebra, Erzeugendensystem
0:33:31 Arbeitstechniken für Erzeuger
0:35:55 Borelsche Sigma-Algebra
0:41:25 Erzeuger der Borelmengen
0:45:01 Maßraum
0:50:12 Dirac-Maß, diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß
0:52:59 Zähl-Maß
0:54:15 Borel-Lebesgue-Maß
0:55:40 Dynkin-System
0:59:08 Erzeugtes Dynkin-System
1:00:09 Erzeugte Sigma-Algebra und erzeugtes Dynkin-System identisch bei schnittstabilem Mengensystem
1:07:30 Eindeutigkeitssatz für Maße
1:12:58 Halbring
1:16:02 Inhalte und Prämaße auf Halbringen
1:18:24 Eigenschaften von Inhalten
1:21:05 Maß-Fortsetzungssatz
1:22:54 Maßdefinierende Funktion, Verteilungsfunktion
16: Vorlesung |
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0:00:10 Beispiel (die tea tasting lady)
0:07:06 Hypothese und Alternative
0:10:50 Nichtrandomisierter Test
0:13:20 Prüfgröße, kritischer Wert
0:16:50 Fehler erster und zweiter Art
0:23:47 Gütefunktion eines Tests
0:28:45 Diskussion: Fehler erster und zweiter Art
0:30:47 Test zu Niveau alpha
0:41:14 Beispiel (spezieller einseitiger Binomialtest)
0:57:54 Randomisierter Test
1:02:36 Allgemeiner einseitiger Binomialtest
1:06:44 Gütefunktion eines randomisierten Tests
1:09:43 Gütefunktionen einseitiger Binomialtests
1:13:50 Asymptotisches Niveau und Konsistenz von Testfolgen
1:17:48 Asymtotischer einseitiger Binomialtest
1:22:19 Konsistenz des einseitigen Binomialtestss
15: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 14
0:06:52 Konfidenzbereiche: Einführende Betrachtungen
0:09:55 Konfidenzbereich für p der Binomialverteilung mithilfe der Tschebyschow-Ugl.
0:17:15 Konfidenzbereich: Definition
0:19:01 Konfidenzbereich: Diskussionm
0:23:33 Konfidenzbereich: Allgemeines Konstruktionsprinzip
0:26:54 Konfidenzbereich für p der Binomialverteilung (Clopper-Pearson-Intervalle)
0:46:43 Asymptotische Konfidenzbereich: Definition
0:48:38 Asymptotischer Konfidenzbereich für p (zweiseitig)
1:01:04 Asymptotischer Konfidenzbereich für p (einseitig)
1:04:40 Genauigkeit der Aussagen beim ZDF-Politbarometer
14: Vorlesung |
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0:00:10 Englische Zusammenfassung der 13. Lektion
0:05:28 Sigma-Regeln
0:09:35 Sigma-Regeln (Beispiel)
0:13:29 Punktschätzung: Einführende Betrachtungen
0:19:06 Schätzung einer Wahrscheinlichkeit: grundlegende Aspekte
0:39:21 Punktschätzung: Allgemeiner Modellrahmen
0:43:28 Bernoulli-Schema (Beispiel)
0:47:31 Punkt-Schätzer: Definition und Diskussion
0:55:56 Mittlere quadratische Abweichung, Verzerrung, Erwartungstreue
1:03:42 Beispiel (Binomialfall)
1:05:08 Maximum-Likelihood-Schätzung
1:08:03 Loglikelihood-Funktion
1:10:15 Maximum-Likelihood-Schätzung bei geometrischer Verteilung
1:14:41 Asymptotische Erwartungstreue und Konsistenz von Schätzern
1:18:14 Beispiel (geometrische Verteilung)
12: Vorlesung |
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0:00:10 Die Substitutionsregel für bedingte Erwartungswerte
0:04:17 Beispiel (Augensumme bei zufälliger Wurfanzahl)
0:12:43 Bedingte Verteilung (Definition)
0:15:56 Hypergeometrische Verteilung als bedingte Verteilung
0:25:24 Gleichverteilung als bedingte Verteilung
0:29:10 Erzeugende Funktion einer Zahlenfolge
0:31:24 Zur Erinnerung: Eigenschaften von Potenzreihen
0:34:11 Beispiel (Fibonacci-Zahlen)
0:37:50 Erzeugende Funktion einer nichtnegativen ganzzahligen Zufallsvariablen
0:40:54 Beispiel (Binomialverteilung, Poisson-Verteilung, negative Binomialverteilung)
0:44:19 Eindeutigkeitsatz für erzeugende Funktionen
0:44:56 Multiplikationsformel für erzeugende Funktionen
0:47:15 Additionsgesetze für die Binomial-, die Poisson-Verteilung und die negative Binomialverteilung
0:51:18 Die Verteilung der Augensumme beim n-fachen Würfelwurf
1:05:09 Erzeugende Funktionen und Momente
13: Vorlesung |
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0:00:07 Englische Zusammenfassung von Lektion 12
0:03:39 Erzeugende Funktionen und Momente (Wiederholung)
0:05:02 Beispiel (Poisson-Verteilung)
0:07:00 Existenz unendlich vieler unabhängiger Zufallsvariablen
0:09:25 Randomisierte Summen
0:12:19 Erzeugende Funktion einer randomisierten Summe
0:19:17 Beispiel (Registrierte Teilchen)
0:23:05 Grenzwertsätze (Einführung)
0:24:46 Schwaches Gesetz großer Zahlen
0:28:56 Schwaches Gesetz großer Zahlen (Veranschaulichung)
0:31:05 Schwaches Gesetz großer Zahlen von Jacob Bernoulli
0:35:14 Stochastische Konvergenz
0:38:06 Rechenregel zur stochastischen Konvergenz
0:42:52 Stochastische Konvergenz und Erwartungswerte
0:46:38 Stochastische Konvergenz und stetige Abbildungen
0:50:48 Zentraler Grenzwertsatz (Einführung)
0:56:26 Dichte der Standard-Normalverteilung (Definition)
0:58:24 Zentraler Grenzwertsatz von De Moivre-Laplace
1:01:58 Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung (Definition)
1:04:19 Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung (Eigenschaften, Tabelle)
1:06:52 Praktische Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes
1:09:10 Stetigkeitskorrektur
1:13:19 Beispiel zur Stetigkeitskorrektur (Würfelwurf)
1:16:15 Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy
1:19:37 Beispiel (negative Binomialverteilung)
11: Vorlesung |
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0:00:10 Herleitung des Gesetzes seltener Ereignisse
0:05:40 Gesetz seltener Ereignisse
0:07:23 Poisson-Verteilung (Definition)
0:08:15 Eigenschaften der Poisson-Verteilung
0:10:53 Das Rutherford-Geiger-Experiment
0:15:01 Bedingter Erwartungswert (Motivation anhand eines Stopp-Problems)
0:16:58 Bedingter Erwartungswert (Definition)
0:22:10 Bedingter Erwartungswert als Erwartungswert bzgl. einer bedingten Verteilung
0:26:20 Beispiel (erste Augenzahl bei gegebener Mindest-Augensumme)
0:29:35 Eigenschaften des bedingten Erwartungswertes
0:33:39 Beste Prognose im Sinne der mittleren quadratischen Abweichung
0:37:50 Bedingter Erwartungswert als beste Vorhersage
0:45:43 Bedingte Erwartung (Definition)
0:48:31 Beispiel (Vorhersage der maximalen Augenzahl aus Augenzahl des ersten Wurfes)
0:55:40 Formel vom totalen Erwartungswert
1:00:33 Iterierte Erwartungswertbildung
1:02:17 Warten auf den ersten Doppeltreffer
1:11:27 Zwischen Angst und Gier: Die Sechs verliert (optimales Stopp-Problem)
10: Vorlesung |
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0:00:10 Begriffliche Herleitung der Multinomialverteilung
0:13:55 Multinomialer Lehrsatz
0:14:59 Multinomialverteilung (Definition)
0:17:22 Beispiel (Würfelwurf)
0:22:23 Multinomialverteilung: Marginalverteilungsbildung
0:25:56 Multinomialverteilung und Vergröberung
0:29:58 Multinomialverteilung: Kovarianz und Korrelation
0:34:07 Mehrdimensionale hypergeometrische Verteilung
0:37:11 Begriffliche Herleitung der geometrischen Verteilung
0:39:13 Geometrische Verteilung (Definition, Erwartungswert, Varianz)
0:47:14 Beispiel (Lotto)
0:49:47 Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung
0:55:22 Begriffliche Herleitung der negativen Binomialverteilung
0:57:46 Negative Binomialverteilung (Definition)
1:07:25 Begriffliche Herleitung des Additionsgesetzes für die negative Binomialverteilung
1:09:42 Additionsgesetz für die negative Binomialverteilung
1:13:37 Erwartungswert und Varianz der negativen Binomialverteilung
1:15:08 Selbsttest (negative Binomialverteilung)
1:16:47 Verständnisfragen: Anzahl der Dreien vor der ersten Sechs
09: Vorlesung |
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0:00:23 Minimaleigenschaft des Erwartungswertes
0:02:20 Varianz einer Indikatorsumme
0:10:41 Beispiele (Pólya-Verteilung, Binomialverteilung, hypergeometrisches Verteilung)
0:16:17 Beispiel (Anzahl der Rekorde in einer rein zufälligen Permutation)
0:21:11 Standardisierung einer Zufallsvariablen
0:24:58 Tschebyschow-Ungleichung
0:32:56 Kovarianz (Motivation der Begriffsbildung)
0:35:44 Kovarianz, Unkorreliertheit
0:38:11 Eigenschaften der Kovarianzbildung
0:47:42 Beispiel für unkorrelierte, nicht unabhängige Zufallsvariablen
0:51:10 Rechenbeispiele zur Kovarianz
0:53:59 Darstellungsformel für die Kovarianz
0:57:28 Beispiel zur Darstellungsformel
1:00:09 Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung E[(Y-a-bX)^2]
1:10:24 Methode der kleinsten Quadrate
1:11:49 (Pearson-) Korrelationskoeffizient
07: Vorlesung |
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0:00:10 Eine vermeintlich männerfeindliche Universität
0:02:02 Das Simpson-Paradoxon
0:06:02 Beispiel (Steuerprogression)
0:11:15 Sterbetafeln
0:15:20 Stochastische Unabhängigkeit (Einführung)
0:23:38 Unabhängigkeit von n Ereignissen (Definition)
0:25:12 Diskussion des Unabhängigkeitsbegriffs
0:30:01 Unabhängigkeit und Komplementbildung
0:35:39 Unabhängigkeit und Produktexperimente
0:44:42 Blockungslemma
0:57:20 Binomialverteilung und Indikatorsummen unabhängiger gleichwahrscheinlicher Ereignisse
1:01:50 Bernoulli-Kette
1:04:53 Das Zwei-Finger-Morra
1:16:03 Unabhängigkeit und Gerichts-Fehlurteile
05: Vorlesung |
0:00:00 Starten
0:00:10 Erwartungswert einer Indikatorfunktion, Dreiecksungleichung
0:04:45 Erwartungswert einer Zählvariablen
0:07:24 Erwartungswert der Anzahl der Rekorde in einer zufälligen Permutation
0:15:27 Transformationsformel für den Erwartungswert einer Funktion von X
0:22:00 Beispiel (Gleichverteilung auf 1,2,...,k)
0:24:27 Erwartungswert als physikalischer Schwerpunkt
0:25:16 Die Jordan-Formel (Verteilung von Indikatorsummen)
0:43:06 Beispiel (Anzahl der besetzten bzw. freien Fächer im Fächermodell)
0:48:53 Zwei-Drittel-Gesetz beim Roulette
0:51:42 Die Formel des Ein- und Ausschließens folgt aus der Jordan-Formel
0:53:58 Binomialverteilung im Urnenmodell
1:04:29 Hypergeometrische Verteilung im Urnenmodell
03: Vorlesung |
0:00:00 Starten
0:00:10 Stetigkeitseigenschaften eines W-Maßes
0:06:31 Formel des Ein- und Ausschließens, Boferroni-Ungleichungen
0:16:25 Wahrscheinlichkeitsfunktion, Zähldichte
0:19:41 Beispiel
0:22:01 Festlegung eines W-Maßes durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion
0:26:41 Großer Umordnungssatz für Reihen
0:35:28 Endlicher W-Raum, Laplacescher W-Raum
0:38:44 Beispiel (Augensumme beim zweifachen Würfelwurf)
0:41:50 Verteilung einer Zufallsvariablen (Vorbereitung)
0:47:28 Diskreter W-Raum (endgültige Definition)
0:50:48 Verteilung einer Zufallsvariablen
0:57:38 Festlegung von diskreten Verteilungen
1:01:08 Kanonische Konstruktion eines W-Raumes bei gegebener Verteilung
1:06:19 Kombinatorik (Einführung)
1:09:09 Erstes Fundamentalprinzip des Zählens
1:09:49 Zweites Fundamentalprinzip des Zählens
1:12:20 Testfragen
1:15:20 k-Permutationen
1:17:53 k-Kombinationen
04: Vorlesung |
0:00:00 Starten
0:00:10 Grundformel der Kombinatorik
0:10:40 Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten, Pascalsches Dreieck, binomischer Lehrsatz
0:14:01 Zwillinge beim Lotto
0:18:23 Kartenverteilungen beim Skatspiel
0:22:18 Stimmzettelproblem
0:34:12 Urnen- und Fächer-Modelle (Einführung)
0:35:09 Beispiel aus der Qualitätskontrolle
0:38:24 Urnenmodelle
0:44:10 Fächermodelle
0:50:51 Paradoxon der ersten Kollision
1:06:09 Erwartungswert (Motivation der Begriffsbildung)
1:10:12 Erwartungswert (Definition für diskrete W-Räume)
1:15:14 Strukturelle Eigenschaften der Erwartungswertbildung
08: Vorlesung |
0:00:00 Starten
0:00:10 Beispiel (zwefacher Würfelwurf, erste und größte Augenzahl)
0:08:52 Zufallsvektor, gemeinsame Verteilung, Marginalverteilung (Definition)
0:12:24 Diskussion, Marginalverteilungsbildung
0:19:52 Gemeinsame Verteilung ist stärkerer Begriff als Marginalverteilungen
0:22:39 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen (Definition)
0:26:25 Kriterien für Unabhängigkeit
0:33:22 Blockungslemma für Zufallsvariablen
0:39:40 Die allgemeine Transformationsformel
0:45:27 Multiplikationsregel für Erwartungswerte
0:51:53 Die diskrete Faltungsformel
0:55:28 Faltung von Gleichverteilungen
0:59:18 Additionsgesetz für die Binomialverteilung
1:03:18 Varianz, Kovarianz, Korrelation (Einführung)
1:05:09 Varianz und Standardabweichung (Definition)
1:10:19 Darstellungsformeln für die Varianz
1:13:36 Beispiel (Gleichverteilung auf 1,2,...,n)
1:15:26 Varianz als Trägheitsmoment
1:18:02 Elementare Eigenschaften der Varianz
06: Vorlesung |
0:00:00 Starten
0:00:10 Mehrstufige Experimente (Einführung)
0:01:56 Beispiel (spezielles Pòlyasches Urnenschema)
0:12:00 Startverteilung. Übergangswahrscheinlichkeiten, erste Pfadregel
0:16:34 Zweite Pfadregel
0:19:30 Verallgemeinerung auf n-stufige Experimente
0:22:05 Allgemeines Pólyasches Urnenschema, Pólya-Verteilung
0:40:27 Produktexperimente, Markov-Ketten
0:46:05 Bedingte Wahrscheinlichkeiten (Einstieg mit Ziegenproblem)
0:50:29 Bedingte Wahrscheinlichkeiten (Motivation der Begriffsbildung)
0:53:53 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, bedingte Verteilung (Definition)
0:58:09 Bedingte Verteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß
1:00:27 Zusammenhang mit Übergangswahrscheinlichkeiten
1:03:31 Multiplikationsformel für bedingte Wahrscheinlichkeiten
1:07:17 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel
1:15:20 Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem)
1:18:11 Test auf eine seltene Krankeit
1:23:43 Eine männerfeindliche Universität?
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