Un classique des récits de science-fiction nous représente emprisonnés dans une pièce enchantée : vous essayez de vous échapper par une porte mais, comme vous sortez par la porte, vous rentrez par la fenêtre ! Est-ce si étrange ? On verra plusieurs exemples d'espaces tridimensionnels de cette nature, tous tirés d'un long article et de ses cinq compléments publiés par Henri Poincaré entre 1895 et 1905. En étudiant ces exemples on sera naturellement amené à discuter du groupe de Poincaré, de la conjecture de Poincaré et plus généralement à parler de «topologie algébrique». Cette branche de la mathématique est une création de Poincaré --- il l'appelait « Analysis Situs ». Son objet d'étude est la forme des espaces indépendamment de leur géométrie. Les concepts tirés de la topologie algébrique ont bouleversés tout le 20ème siècle mathématiques et continuent de jouer un rôle fondamental dans la recherche moderne notamment en physique mathématique.
On décrira quelques uns de ces concepts sur des exemples jusqu'à s'interroger : l’univers est-il une pièce enchantée ? et si oui comment cette pièce est-elle agencée ?